δ ≈F h ; ϕ 1 ≈R h .
Если полученные выражения подставить в формулу (3.1) и сократить
на общий множитель h , то мы получим: | n − 1 | ||||||||
n − 1 | |||||||||
Внимание ! Длина отрезкаF не зависит от произвольно выбранной нами высотыh , следовательно, все лучи из падающего пучка пересекутся в одной и той же точкеS 1 , называемойфокусом линзы. Само же расстояниеF называютфокусным расстоянием линзы, а физическую величинуP –оптической силой линзы . В системе СИ она измеряется в диоптриях и обозначаетсядптр . По определению 1 дптр – это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м.
Пример 3.1. Вычислите оптическую силу линзы с фокусным расстояниемF = 16 см.
Решение. Выразим фокусное расстояние линзы в метрах:16 см = 0,16 м. По определению оптическая силаP = 1/(0,16 м) = 6,25 дптр.
Ответ: P = 6,25 дптр.
Можно показать (подумайте, как), что если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить справа на выпуклую поверхность плосковыпуклой линзы, то все они, дважды преломившись в линзе, пересекутся на главной оптической оси в точке S 2 , отстоящей от линзы на таком же расстоянииF . То есть у линзы два фокуса. В этой связи договорились один фокус, в котором собираются параллельные лучи света, прошедшие сквозь собирающую линзу, называтьзадним , а другой фокус –передним . Для рассеивающих линз задний фокус (тот, в котором пересекаются продолжения параллельных лучей, падающих на линзу) находится со стороны источника, а передний – с противоположной стороны.
§4. Формула тонкой собирающей линзы
Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая ОХ , проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется еёглавной оптической осью (сравните это определение с определением из§3 для плоско-выпуклой линзы). Предположим, что точечный источник светаS 1 расположен на этой оси. Проведём из точкиS 1 два
Рис. 4.1
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.
луча. Один – вдоль главной | ||||||||||||||||
оптической оси, а другой – под | ||||||||||||||||
углом φ 1 к ней, в точкуM лин- | ||||||||||||||||
зы, отстоящую от главной оп- | ||||||||||||||||
тической оси на расстоянии h | ||||||||||||||||
(рис. 4.1). Преломившись в | ||||||||||||||||
линзе, этот луч пересечёт глав- | ||||||||||||||||
ную оптическую ось в некото- | ||||||||||||||||
рой точке S 2 , которая есть изо- | ||||||||||||||||
бражение источника S 1 . Предпо-
ложим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда
ϕ ≈ | ||||||||
Легко видеть, что угол отклонения δ является внешним для треуголь-
Фрагмент линзы, в окрестности точки М через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источникS 1 вдоль главной оп-
тической оси и удалив его на бесконечность, мы добьемся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет
δ ≈ | |||||||||
Здесь F – фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3) |
|||||||||
в формулу (4.2). После сокращения на множитель h получим: | |||||||||
Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов ϕ 1 ;ϕ 2 ;δ ).
Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.
Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы. Задача 4.1. Найдите фокусное расстояниеF линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниямиF 1 иF 2 . Линзы прижа-
ты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы. | |||||||
Решение. Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу |
|||||||
чит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источ- |
|||||||
ник света S 1 в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы |
|||||||
a = F 1 . Лучи, испущенныеS 1 , после прохождения первой линзы пойдут |
|||||||
параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая лин- |
|||||||
за. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её |
|||||||
заднем фокусе (точка S 2 ) на расстоянииF 2 . Для составной линзы расстоя- |
|||||||
ние b = F 2 . Выполнив соответствующие подстановки в (4.4) получим: | |||||||
Это соотношение можно выразить через оптические силы линз: | |||||||
P 1+ P 2 | |||||||
Мы получили очень важный результат – оптическая сила системы линз, |
|||||||
плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил. | |||||||
§5. Формула тонкой рассеивающей линзы | |||||||
Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. ОХ – её главная оп- |
|||||||
тическая ось. Предположим, что то- | |||||||
чечный источник света S 1 располо- | |||||||
жен на этой оси. Как и в предыду- | |||||||
щем параграфе, проведём из точки | |||||||
S 1 два луча. Один – вдоль главной | 1 S 2 | ||||||
оптической оси, а другой – под уг- | |||||||
лом к ней в точку M линзы, от- | |||||||
стоящую от главной оптической оси | |||||||
на расстоянии h (рис. 5.1). Прело- | |||||||
мившись в линзе, этот луч будет | |||||||
ещё сильнее удаляться от главной | |||||||
оптической оси. Если его продол- | |||||||
жить обратно, за линзу, то он пере- | |||||||
сечёт главную оптическую ось в некоторой точке S 2 , | называемой изо- |
||||||
бражением источника S 1 . Поскольку | изображение получено в результате |
||||||
мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мни- |
|||||||
мым. | |||||||
Легко видеть, что угол φ 2 является внешним для треугольникаS 1 MS 2 . |
|||||||
По теореме о внешнем угле треугольника |
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.
где F – фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда
ϕ ≈ | ||||||||
Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель h получим:
Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде: | |||||||||||||
Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний a ,b ,F берутся их арифметические значения.
§6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой
На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих – к центру отрезка.
Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1). Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) AB . Из точкиB пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо парал-
лельно главной оптической оси. Существует точка B 1 в которой оба луча пересекутся.B 1 есть изображение точкиB . Любой другой луч, вышедший изB и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точкуB 1 . Аналогичным образом построим изображение точкиA . Так, мы
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.
построили изображение пред-
щих свойства тонкой линзы:
мета AB в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:
1) изображение стрелки
действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);
2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелкаAB , так и её изо-
бражение A 1 B 1 перпенди-
кулярны глав-
ной оптической оси. Отметим два достаточно об-
– прямую линию линза отображает в прямую;
– если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси. Вообще же,
углы у протяженных предметов, расположенных вдоль главной оптиче-
ской оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат ABCD линза «превратила» в трапециюA 1 B 1 C 1 D 1 .
Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч – тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович
Установим соответствие между геометрическим и алгебраическим способами описания характеристик изображений, даваемых линзами. Сделаем чертёж по рисунку со статуэткой в предыдущем параграфе.
Поясним наши обозначения. Фигура AB – статуэтка, которая находится на расстоянии d от тонкой собирающей линзы с центром в точке О. Правее располагают экран, на котором A"B" – изображение статуэтки, наблюдаемое на расстоянии f от центра линзы. Точками F обозначены главные фокусы, а точками 2F – двойные фокусные расстояния.
Почему мы построили лучи именно так? От головы статуэтки параллельно главной оптической оси идёт луч BC, который при прохождении линзы преломляется и проходит через её главный фокус F, создавая луч CB". Каждая точка предмета испускает множество лучей. Однако при этом луч BO, идущий через центр линзы, сохраняет направление из-за симметрии линзы. Пересечение преломлённого луча и луча, сохранившего направление, даёт точку, где будет изображение головы статуэтки. Луч AO, проходящий через точку О и сохраняющий своё направление, позволяет нам понять положение точки A", где будет изображение ног статуэтки – на пересечении с вертикальной линией от головы.
Предлагаем вам самостоятельно доказать подобие треугольников OAB и OA"B", а также OFC и FA"B". Из подобия двух пар треугольников, а также из равенства OC=AB, имеем:
Последняя формула предсказывает соотношение между фокусным расстоянием собирающей линзы, расстоянием от предмета до линзы и расстоянием от линзы до точки наблюдения изображения, в которой оно будет отчётливым. Чтобы эта формула была применима и для рассевающей линзы, вводят физическую величину оптическая сила линзы.
- В этом параграфе мы намерены выяснить, в чём будет заключаться...
- Для геометрического описания конкретного изображения, даваемого линзой, мы...
- На сделанном нами чертеже жёлтая фигура AB – это...
- Зелёная двуконечная стрелка является обозначением...
- На расстоянии f правее линзы расположен не показанный на чертеже...
- Главные фокусы линзы обозначены...
- Удвоенные фокусные расстояния обозначены...
- Любой луч, идущий «на линзу» параллельно её главной оптической оси, ...
- Из точки B мы проведём только два луча, несмотря на то, что...
- Проведённый нами через центр линзы луч...
- Точку, в которую спроецируется голова статуэтки, нам даст...
- Из точки A также исходит множество лучей, однако мы проведём только один...
- Луч AO поможет нам определить место расположения...
- Последняя формула на первой странице параграфа вытекает...
- Эта формула справедлива, только если даваемое линзой изображение предмета отчётливое, и...
Рассмотрим, выведенные формулы:
(3.8)
Сравним формулы (3.7 и 3.8), очевидно, что можно записать следующее выражение, связывающее оптические характеристики линзы (фокусные расстояния) и расстояния, характеризующие расположение предметов и их изображений:
, (3,9)
где F - фокусное расстояние линзы; D -
оптическая сила линзы; d - расстояние от
предмета до центра линзы; f - расстояние
от центра линзы до изображения. Обратная
фокусному расстоянию линзы величина
называется оптической силой.
Эта формула получила название формулы тонкой линзы. Она применяется только с правилом знаков: Расстояния считаются положительными, если они отсчитываются по направлению светового луча, и отрицательными, если эти расстояния отсчитываются против хода луча.
Рассмотрим следующий рисунок.
Отношение высоты изображения к высоте предмета называется линейным увеличением линзы.
Если рассмотреть подобные треугольники ВАО и ОАВ(рис.3.3), то линейное увеличение, даваемое линзой, можно найти следующим образом:
, (3.10)
где АВ - высота изображения; АВ- высота предмета.
Для качественного получения изображения используются системы линз и зеркал. При работе с системами линз и зеркал важно, чтобы система была центрирована, т.е. оптические центры всех тел, составляющих данную систему, лежали на одной прямой линии, главной оптической оси системы. При построении изображения в системе используется принцип последовательности: строят изображение в первой линзе (зеркале), затем это изображение является предметом для следующей линзы (зеркала) и вновь строят изображение и т.д.
Кроме фокусного расстояния оптической характеристикой линз и зеркал является оптическая сила, это величина обратна фокусному расстоянию:
(3,11)
Оптическая сила оптической системы всегда равна алгебраической сумме оптических сил, составляющих данную оптическую систему линз и зеркал. Важно помнить, что оптическая сила рассеивающей системы является величиной отрицательной.
(3.12)
Оптическая сила измеряется в диоптриях D=м -1 = 1дптр, т.е.одна диоптрия равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием в 1м.
Примеры построения изображений с помощью побочных осей.
Так как светящаяся точка S находится на главной оптической оси, то все три луча, используемые для построения изображения совпадают и идут вдоль главной оптической оси, а для построения изображения нужно минимум два луча. Ход второго луча определяют с помощью дополнительного построения, которое выполняется следующим образом: 1) строят фокальную плоскость, 2) выбирают любой луч, идущий из точки S;
Аберрации оптических систем
Описываются аберрации оптических систем и методы их уменьшения или устранения.
Аберрации - общее название для погрешностей изображения, возникающих при использовании линз и зеркал. Аберрации (от лат. «аберрацио» - отклонение), которые проявляются только в немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как их проявление не связано со сложным спектральным составом реального света.
Источники аберраций . В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из какой-то точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения и чтобы все точки предмета отображались с одинаковым увеличением в одной и той же плоскости.
Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точностью, однако не абсолютно. Поэтому первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют широкие пучки лучей не совсем" так, как это принимается в параксиальном приближении. Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оптической оси линзы, различны и т. д. Такие аберрации называют геометрическими.
а) Сферическая аберрация - монохроматическая аберрация, обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее центральная часть. В результате этого изображение точки на экране получается в виде светлого пятна, рис. 3.5
Этот вид аберрации устраняется путем использования систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.
б) Астигматизм - монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости изображения вырождается в отрезок.
Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 3.6а точечный источник расположен на побочной оптической оси. При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях I и П. Изображение источника можно получить лишь в виде расплывчатого пятна между плоскостями I и П.
Астигматизм, обусловленный асимметрией оптической системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу устройства самой системы. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Это
наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 3.6
Рис. 3.6. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный
цилиндрической линзой {б)
Цилиндрическая линза образует линейное изображение точечного объекта.
В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма служат очки, которые имеют различную кривизну в разных направлениях.
направлениях.
в) Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые предметом, составляют большой угол с оптической осью, обнаруживается еще один вид аберрации - дисторсия. В этом случае нарушается геометрическое подобие между объектом и изображением. Причина состоит в том, что в действительности линейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 3.7
Рис. 3.7 Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная
Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с противоположной дисторсией.
Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Поскольку показатель преломления зависит от частоты, то, и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке плоскости изображения даже тогда, когда лучи, соответствующие каждой частоте, осуществляют идеальное отображение предмета. Такие аберрации называются хроматическими, т.е. хроматическая аберрация заключается в том, что пучок белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к линзе, чем красные, рис. 3.8
Рис. 3.8. Хроматическая аберрация
Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы, изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы,