26.9 . Предмет находится на расстоянии 20 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 15 см. Найдите расстояние (в см) от изображения до линзы.
Подсказка
Примените формулу тонкой линзы. Учтите, что расстояние от предмета до линзы больше фокусного расстояния.
Ответ
26.10 . Фокусное расстояние собирающей линзы 20 см. Найдите расстояние (в см) от предмета до переднего фокуса линзы, если экран, на котором получается четкое изображение предмета, расположен на расстоянии 40 см от заднего фокуса линзы.
Собирающая линза: мнимое изображение предмета
Объективная линза проектирует реальное изображение объекта вверх в теле микроскопа на плоскость объективного сопряженного изображения или плоскость первичного изображения. Расстояние от задней фокальной плоскости объектива до плоскости первичного изображения внутри тела микроскопа называется длиной оптической трубки. В зависимости от типа микроскопа и окуляра, плоскость первичного изображения может находиться как внутри самого микроскопа, так и внутри окуляра. Объектив объектива образует реальное изображение в теле микроскопа, которое действует как объект для окулярной линзы.
Подсказка
Потребуется найти расстояние от предмета до линзы, затем разницу между найденным расстоянием и фокусным. Изображение действительное.
Ответ
26.11 . Расстояние от предмета до собирающей линзы в 1,5 раза больше фокусного. Во сколько раз больше фокусного, расстояние от изображения до линзы?
Подсказка
Выразите расстояние от линзы до изображения в фокусных расстояниях, а затем отношение найденного расстояния к фокусному.
Реальное изображение становится объектом самого глаза и проецируется на сетчатку. Окуляр в свою очередь действует как простая лупа для формирования большого виртуального изображения на расстоянии от самого четкого видения от глаза. Объективные и окулярные линзы действуют последовательно. Таким образом, общее увеличение в составном микроскопе является функцией объективного увеличения, умноженного на увеличение окуляра.
Преимущество наличия составной системы линз в отличие от простой лупы заключается в том, что гораздо большее увеличение может быть достигнуто с использованием двух линз, а не одного. Для достижения большого увеличения с помощью однообъективных лупперов сам объектив должен быть расположен близко к глазу, чтобы увеличить угол наклона и, следовательно, размер проецируемого изображения на сетчатке. Затем глаз фокусируется на большом виртуальном изображении, образованном положительным объектив лупа. Возникает проблема, когда требуются очень большие увеличения, потому что линзы не могут быть расположены достаточно близко к глазу, чтобы привести к большому объективному уголку объектного глаза.
Ответ
26.12 . Собирающая линза с фокусным расстоянием 10 см формирует мнимое изображение на расстоянии 15 см от линзы. На каком расстоянии (в см) от этого изображения находится предмет?
Подсказка
Найдите расстояние от предмета до линзы, а затем модуль разности между найденным расстоянием и расстоянием от линзы до изображения.
Свет от окуляра принимает два отдельных пути в зависимости от его происхождения. Если это образец света, лучи вытекают из окуляра почти параллельно. В наиболее сосредоточенной точке они образуют круг света диаметром около 3 мм. Этот круг называется выходным учеником. Расстояние от поверхности переднего стекла до выходного зрачка называется Ослаблением глаз.
Составной микроскоп можно рассматривать как имеющий два одновременных, но взаимоисключающих набора сопряженных плоскостей. Обратите внимание, что капля воды образует четкое, уменьшенное изображение цветка, которое больше в фоновом режиме. Фотограф покинул фон, не сфокусированный, чтобы выделить любопытный оптический эффект, который возникает, потому что капелька воды функционирует как сходящийся объектив.
Ответ
26.13 . Собирающая линза дает изображение некоторого предмета на экране. Высота изображения 9 см. Оставляя неподвижным экран и предмет, линзу передвинули к экрану и получили второе четкое изображение высотой 4 см. Найдите высоту (в см) предмета.
Подсказка
В первом случае линза давала увеличенное действительное изображение, а во втором случае уменьшенное действительное изображение. Составьте систему из двух уравнений. Обратите внимание на обратимость ситуации.
Линзы представляют собой «срезы» прозрачного и однородного материала с двумя непараллельными гранями и окружены другим материалом, также прозрачным и оптически отличающимся, то есть с показателями преломления разных значений. Сферические линзы, имеющие по крайней мере одну из сферических граней, шесть и могут быть сгруппированы в два семейства: с тонкими краями и с толстыми краями. На рисунке ниже показаны шесть различных и возможных профилей сферических линз.
Собирающая линза: мнимое изображение точки
Слайд из одного из моих классов мультимедийной геометрической оптики. Для линз достаточно часто быть стеклом и погружаться в воздух. В этом случае они представляют собой линзы материала, более тонкие, чем внешняя среда. И когда это происходит, выпуклые линзы сходятся, они концентрируют свет, тогда как вогнутые линзы расходятся, то есть распространяют свет.
Ответ
26.14 . На каком расстоянии d от собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно F = 60 см, надо поместить предмет, чтобы его действительное изображение получилось уменьшенным в k = 2 раза?
Подсказка
Воcпользуйтесь тем, что f/d = 1/2.
Ответ
26.15 . Предмет находится на расстоянии d = 5 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. На каком расстоянии L от предмета находится его изображение?
Посмотрите на фотографию в верхней части этого сообщения и ответьте мне: с какой из шести линз выше капли воды выглядят больше всего? Если вы ответили двояковыпуклым, ударились в муху! Капля воды имеет почти сферическую центральную область, которая приближается из двояковыпуклой линзы, только немного более «пухлые», то есть с большой толщиной, как мы можем видеть на рисунке ниже.
Капля воды имеет двояковыпуклую форму с большой толщиной. Приближенная диаграмма лучей, которые пересекают капельку и формируют изображение. Согласно Иоганну Карлу Фридриху Гаусу, немецкому математику и ученому Оптики, идеальные линзы должны иметь, помимо прочего, небольшую толщину. Другими словами, они должны быть прекрасными линзами.
Подсказка
Ответ
L = 5 см, изображение мнимое.
26.16 . На каком расстоянии f от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см получится изображение предмета, если сам предмет находится от линзы на расстоянии d = 15 см?
Подсказка
Линза дает мнимое увеличенное изображение.
Ответ
F = 4,5 см.
26.17 . При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 6 см получают мнимое изображение предмета на расстоянии x = 18 см от линзы. На каком расстоянии d от линзы помещен предмет?
Ниже проиллюстрирована идеальная схема, соответствующая ситуации капли воды, образующей цветок. Та же схема, теперь идеализированная, с «гауссовским». Обратите внимание, что фактическое изображение цветка перевернуто. На фотографии, поскольку фон намеренно размыт фотографом, мы не имеем никакого отношения к тому, чтобы знать, что была эта инверсия. Фактически, реальные образы всегда инвертируются относительно объекта.
В дождливый день, когда вы едете, желательно в поездке, внимательно посмотрите на каждую из капель воды, которые «приклеены» к стеклу. Они действуют как маленькие сходящиеся линзы, которые образуют реальные, перевернутые и уменьшенные изображения ландшафта фон, который будет достаточно далеко от объектива. Ниже приведены две фотографии, которые иллюстрируют эту любопытную идею и что вы можете протестировать на практике.
Подсказка
Линза дает мнимое увеличенное изображение.
Ответ
D = 4,5 см.
26.18 . Каково фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d = 40 см? Расстояние от линзы до изображения x = 1,2 м.
Подсказка
Линза дает мнимое увеличенное изображение.
Ответ
Еще один классный эксперимент по дому. Проверьте результат ниже, где изображения искажены, так как моя линза имеет большую толщину и поэтому не является гауссовским. Водяная банка: конвергентная линза. Обратите внимание на фактическое изображение, инвертированное и меньшее, чем объект.
Каждое реальное изображение может быть спроецировано, потому что оно выполнено из реального света. На ткани появляется реальное, перевернутое и уменьшенное изображение пейзажа, просматриваемого через окно. Просто отрегулируйте правильное расстояние между банкой и экраном, нажимая банку в сторону от экрана до получения максимально возможного изображения.
26.19 . Найдите фокусное расстояние F и оптическую силу D линзы, если известно, что изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 30 см от линзы, получается по другую сторону линзы на таком же расстоянии от нее.
Подсказка
Ситуация возможна для случая расположения предмета в двойном фокусе.
Ответ
F = 0,15 м; D = 6,7 дптр.
Если у вас есть сферическая банка, напоминающая этот дом, вы можете повторить этот забавный эксперимент. Реальное и инвертированное изображение, проецируемое на переборку. Держа кувшин и просматривая его, мы видим реальные, перевернутые и более мелкие изображения, которые он конъюгирует по рефракции.
Ратификация: реальное изображение, инвертированное и меньшее, чем объект. Тот же эффект, в другом окне, с другим ландшафтом. Конвергентные линзы также могут формировать увеличенные фактические изображения. Конвергентные линзы могут даже создавать фактические изображения того же размера, что и объект. Это то, что происходит в копировальных машинах, когда копия и оригинал имеют одинаковый размер. Фактически, существует пять различных случаев визуализации на сходящихся объективах и один случай на расходящихся объективах.
26.20 . Расстояние между лампочкой, находящейся на главной оптической оси собирающей линзы, и ее изображением составляет L = 53 см. Расстояние от лампочки до линзы d = 30 см. Определите фокусное расстояние F и оптическую силу D линзы.
Подсказка
По условию задачи L = f + d.
Ответ
F = 0,13 м; D = 7,68 дптр.
26.21 . На каком расстоянии d o надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?
Но эти подробности останутся для другого поста! Более преломляющие материалы имеют более высокий абсолютный показатель преломления. Абсолютный показатель преломления среды измеряет трудность, с которой луч света должен пересечь эту среду. Чем выше показатель преломления среды, тем медленнее свет распространяется в этой среде. Но, напротив, если свет «брека» больше проникает в эту среду, он также страдает большим отклонением при входе в эту среду, исходящей из другого с другим показателем преломления.
Осторожно! Объективы с тонким краем, изготовленные из более перерабатываемого материала, чем внешняя среда, ведут себя как сходящиеся. Но если они имеют материал менее тонкий, чем внешняя среда, они становятся расходящимися. Напротив, толстолистовые линзы, изготовленные из более перерабатываемого материала, чем внешняя среда, расходятся. Но если мы изменим соотношение показателей преломления, чтобы эти линзы были менее перерабатывающими, чем внешняя среда, то они становятся сходящимися. Капля воды имеет форму двояковыпуклой линзы, если она сделана из воды или стекла, погруженного в воздух, она более тонкая, чем внешняя среда. виртуальные изображения можно проецировать на экран, тогда как виртуальные изображения никогда не будут проецироваться.
Подсказка
Выразить d o как функцию расстояния от линзы до изображения и исследовать на минимум.
Ответ
26.22 . Расстояние от освещенного предмета до экрана L = 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми составляет S = 20 см. Определите фокусное расстояние F линзы.
Подсказка
По условию задачи L = f + d. Составьте систему из двух уравнений. В обоих случаях изображение действительное.
Ответ
26.23 . Линза, помещенная между предметом и экраном, может перемещаться вдоль главной оптической оси. Она дает два отчетливых изображения предмета на экране: одно − высоты h 1 = 10 мм, другое − высоты h 2 = 90 мм. Определите высоту h предмета, если расстояние между предметом и экраном не изменяется.
Подсказка
Ответ
26.24 . Предмет находится на расстоянии L = 90 см от экрана. Между предметом и экраном помещают линзу, причем при одном положении линзы на экране получают увеличенное изображение предмета, при другом − уменьшенное. Каково фокусное расстояние F линзы, если линейные размеры первого изображения в k = 4 раза больше, чем второго?
Подсказка
Воспользуйтесь обратимостью светового луча.
Ответ
26.25 . Источник света и экран находятся друг от друга на расстоянии a. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F дает действительное изображение на экране при двух ее положениях. Определите расстояние L между двумя этими положениями линзы.
Подсказка
Воспользуйтесь обратимостью светового луча.
Ответ
L = (a 2 − 4aF)½
26.26 . Предмет в виде отрезка длины h расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Середина отрезка расположена на расстоянии a от линзы, которая дает действительное изображение всех точек предмета. Определите продольное увеличение k предмета.
Подсказка
Потребуется найти размеры изображения как разность расстояний между изображениями концов предмета до линзы, а затем отношение к размерам предмета.
Ответ
K = 4F 2 /{4(a − F) 2 − h 2 }; a > F + h/2.
26.27 . Точечный источник света S находится на главной оптической оси собирающей линзы. Расстояние от источника до его изображения равно L, расстояние от источника до ближайшего фокуса линзы a. Определите фокусное расстояние линзы F и расстояние d от источника S до линзы.
3. a > 2f. В этом случае из формулы линзы следует, что b < 2f (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 4.44 ).
Рис. 4.44. a > 2f: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное |
|||||
Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.
Рассмотрение первого случая a > f нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.
4.6.3 Собирающая линза: мнимое изображение точки
Второй случай: a < f. Точечный источник света S расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 4.45 ).
Рис. 4.45. Случай a < f: мнимое изображение точки
Наряду с лучом SO, идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч SX. Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча OE и XP . Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке S0 .
Теорема об изображении утверждает, что точка S0 будет одной и той же для всех лучей SX, исходящих из точки S. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:
SAO S0 A0 O; SXS0 OP S0 ; SXK OP F:
Снова обозначая через b расстояние от S0 до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):
S0 O S0 S | |||||||||||||||||||||||
b A0 O S0 O | |||||||||||||||||||||||
Величина b не зависит от луча SX, что и доказывает теорему об изображении для нашего случая a < f. Итак, S0 мнимое изображение источника S.
Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения S0 удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис.4.46 ).
Рис. 4.46. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси
Ну а если точка S лежит на главной оптической оси, то деваться некуда придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 4.47 ).
Рис. 4.47. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси
Соотношение (4.14 ) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая a < f. Сначала переписываем это соотношение в виде:
1 a b =f a ;
а затем делим обе части полученного равенства на a:
Сравнивая (4.12 ) и (4.16 ), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым 1=b стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.
Величина b, вычисляемая по формуле (4.15 ), не зависит также от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой M), это означает, что изображением отрезка SA на рис.4.47 будет отрезок S0 A0 .
4.6.4 Собирающая линза: мнимое изображение предмета
Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 4.48 ). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.
Рис. 4.48. a < f: изображение мнимое, прямое, увеличенное
Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло лупу.
Случай a < f полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая a > f. Это не удивительно ведь между ними лежит промежуточный ¾катастрофический¿ случай a = f.
4.6.5 Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости
Промежуточный случай: a = f. Источник света S расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 4.49 ).
Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что
Рис. 4.49. a = f: изображение отсутствует
все лучи источника S, расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.
Где же изображение точки S? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае изображение S0 находится на бесконечности.
Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).
Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.
4.6.6 Рассеивающая линза: мнимое изображение точки
К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.
Снова берём луч SO и произвольный луч SX (рис. 4.50 ). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча OE и XY , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке S0 .
F A0 | ||
Рис. 4.50. Мнимое изображение точки S в рассеивающей линзе
Нам снова предстоит доказать теорему об изображении о том, что точка S0 будет одной и той же для всех лучей SX. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:
SAO S0 A0 O; SXS0 | OP S0 ; | |||||||||||||||||||||
SS0 + S0 O | ||||||||||||||||||||||
b A0 O S0 O | ||||||||||||||||||||||
Величина b не зависит от луча SX, поэтому продолжения всех преломлённых лучей XY пересекутся в точке S0 мнимом изображении точки S. Теорема об изображении тем самым полностью доказана.
Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (4.11 ) и (4.15 ). В случае a = f их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации a > f и a < f.
А вот у формулы (4.18 ) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.
Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой параллельно главной оптической оси (рис. 4.51 ).
Рис. 4.51. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси
Если же точка S лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 4.52 ).
Рис. 4.52. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси
Соотношение (4.18 ) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем:
а потом разделим обе части полученного равенства на a: | ||||||||||||
