Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.

«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).

Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.

Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число, равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:

666=22+32+52+72+112+132+172,

666=1+2+3++34+35+36.

Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.

Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.

Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью. Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.

Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.

После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.

Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.

И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.

Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:

67=1+2+64 и т. д.

Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:

1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.

Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.

Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.

а к- при которых ак-1/а-1 просты

В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.

Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.

Р=17,8589869156 (шестое число)

Р=19,137438691328 (седьмое число)

Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).

Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:

2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.

В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.

Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:

618970019642690137449562111*288, р=89.

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162259276829213363391578010288127*2106, р=107.

Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).

Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).

В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).

Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:

22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)

22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).

Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.

Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).

Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.

Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.

Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:

1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.

2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.

3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.

4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля «Сикстинская Мадонна». Какое отношение он имеет к совершенным числам.

5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.

6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.

7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.

Удивительные числа

4.2 Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 …

Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Властивості простих чисел

Взаємно прості числа -- натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 -- взаємно прості, а 2 і 4 -- ні (діляться на 2)...

Математика в средние века

Необходимым условием применения метода фан-чэн к системам уравнений было введение отрицательных чисел. Например, при решении системы, получаем таблицу. Следующий шаг: вычитание элементов третьего столбца справа из элементов первого...

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен -1. Это число обозначим символом Я и назовем мнимой единицей. Итак, (2.1) Тогда. (2.2) 1. Алгебраическая форма комплексного числа Если, то число (2.3) называется комплексным числом...

Рекуррентно заданные числовые последовательности

При решении многих задач часто приходится сталкиваться с последовательностями, заданными рекуррентно, но, в отличии от последовательности Фибоначчи, не всегда возможно получить её аналитическое задание...

Решение математических задач средствами Excel

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число - это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Ключ

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году - 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие - они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай - отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n - простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название - числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.

Собственный делитель натурального числа - это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным . Так, 6 = 3 + 2 + 1 - это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 - это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n . Например, σ (3) = 1 + 3 = 4, а σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна , то есть σ (ab ) = σ (a )σ (b ); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ (N ) = 2N . Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n –1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число - это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N - какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ (N ) = 2N . Представим N в виде N = 2 k ·m , где m - нечетное число. Поэтому σ (N ) = σ (2 k ·m ) = σ (2 k )σ (m ) = (1 + 2 + ... + 2 k )σ (m ) = (2 k +1 – 1)σ (m ).

Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ (m ). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m , а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M . Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ (m ). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ (pq ) = σ (p )σ (q ), где p и q - различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ (p ) = 1 + p , σ (q ) = 1 + q , а σ (pq ) = 1 + p + q + pq = (1 + p )(1 + q ).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2 n – 1, то число N = 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ (N ) = 2N (так как сигма-функция - это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ (N ) = σ (2 n –1 (2 n – 1)) = σ (2 n –1)σ (2 n – 1) = (1 + 2 + ... + 2 n –1)·((2 n – 1) + 1) = (2 n – 1)·2 n = 2N . Здесь было использовано, что раз 2 n – 1 - простое число, то σ (2 n – 1) = (2 n – 1) + 1 = 2 n .

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2 n –1 (2 n – 1). Это 1; степени двойки 2, 2 2 , ..., 2 n –1 ; простое число p = 2 n – 1; а также делители вида 2 m ·p , где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий . Первая начинается с 1, а вторая - с числа p ; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2 n – 1)/2 – 1 = 2 n – 1 (и это равно p ). Вторая прогрессия дает p ·(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p ·(2 n –1 – 1). Итого, получается p + p ·(2 n –1 – 1) = 2 n –1 ·p - то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, .

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 - простое число Мерсенна , то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km - составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение - «если n - простое, то 2 n – 1 также простое» - не верно: 2 11 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель - доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ (m ) следует, что m делится на M . Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ (m ). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m . Значит, M = 1, а m - простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n , что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число - 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа - 6 и 28 - были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа - 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы , оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», - говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 - самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число - 33 550 336 - было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2 n –1 (2 n – 1), причем 2 n – 1 должно быть простым. Восьмое число - 2 305 843 008 139 952 128 - нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2 n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10 300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 10 80 . При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет - одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org .

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным . В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века - и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними - и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 10 7 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 10 8 и 10 9 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 2 43112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка-Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

• Каждое четное совершенное число является также треугольным числом , то есть представимо в виде 1 + 2 + ... + k = k (k + 1)/2 для некоторого k .
• Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 1 3 + 3 3 , а 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 .
• В двоичной системе счисления совершенное число 2 n –1 (2 n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом - n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 6 10 = 110 2 , 28 10 = 11100 2 , 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .
• Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.