Если на тело действует сила, то эта сила совершает работу по перемещению этого тела. Прежде чем дать определение работе при криволинейном движении материальной точки, рассмотрим частные случаи:
В этом случае механическая работа A равна:
A
=
F s cos
=
,
или
A
= Fcos
×
s = F
S
×
s ,
где
F
S
– проекция
силы
на перемещение. В данном случае
F
s
=
const
,
и геометрический смысл работы A
– это площадь прямоугольника,
построенного в координатах F
S
,
,
s
.
Построим график
проекции силы на направление перемещения
F
S
как функции перемещения s.
Полное перемещение представим как сумму
n
малых перемещений
.
Для малого i
-ого
перемещения
работа равна
или площади заштрихованной трапеции
на рисунке.
.
Величина, стоящая
под интегралом будет представлять
элементарную работу по бесконечно
малому перемещению
:
– элементарная
работа.
и работу силы
по перемещению материальной точки из
точки 1
в точку 2
определяем как криволинейный интеграл:
–работа при
криволинейном движении.
Пример 1:
Работа
силы тяжести
при криволинейном движении материальной
точки.
.Далее
как постоянную величину можно вынести
за знак интеграла, а интеграл
согласно
рисунку будет представлять полное
перемещение
.
.
Если обозначить
высоту точки 1
от поверхности Земли через
,
а высоту точки 2
через
,
то
Мы видим, что в
данном случае работа определяется
положением материальной точки в начальный
и конечный момент времени и не зависит
от формы траектории или пути. Работа
силы тяжести по замкнутому пути равна
нулю:
.
Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными .
Пример 2 : Работа силы трения.
Это пример неконсервативной силы. Чтобы показать это достаточно рассмотреть элементарную работу силы трения:
,
т.е. работа силы
трения всегда отрицательная величина
и на замкнутом пути не может быть равной
нулю. Работа, совершаемая в единицу
времени, называется мощностью
.
Если за время
совершается работа
,
то мощность равна
–механическая
мощность
.
Взяв
в виде
,
получим для мощности выражение:
.
В СИ единицей
работы является джоуль:
=
1 Дж = 1 Н
1
м, а единицей мощности является ватт: 1
Вт = 1 Дж/с.
Механическая энергия.
Энергия является общей количественной мерой движения взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из нечего: она лишь может переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления в природе. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают разные виды энергии – механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.
Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом. Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Другими словами работа – это количественная мера изменения энергии:
.
Энергия также как и работа в СИ измеряется в джоулях: [E ]=1 Дж.
Механическая энергия бывает двух видов – кинетическая и потенциальная.
Кинетическая
энергия
(или энергия
движения) определяется массами и
скоростями рассматриваемых тел.
Рассмотрим материальную точку, движущуюся
под действием силы
.
Работа этой силы увеличивает кинетическую
энергию материальной точки
.
Вычислим в этом случае малое приращение
(дифференциал) кинетической энергии:
При вычислении
использован
второй закон Ньютона
,
а также
- модуль скорости материальной точки.
Тогда
можно представить в виде:
-
- кинетическая энергия движущейся материальной точки .
Умножив и разделив
это выражение на
,
и учитывая, что
,
получим
-
- связь между импульсом и кинетической энергией движущейся материальной точки .
Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела.
Мы видели, что
работу силы тяжести
при криволинейном движении материальной
точки
можно представить в виде разности
значений функции
,
взятых в точке 1
и в точке
2
:
.
Оказывается, что
всегда, когда силы консервативны, работу
этих сил на пути 1
2
можно представить в виде:
.
Функция
,
которая
зависит только от положения тела –
называется потенциальной энергией
.
Тогда для элементарной работы получим
–работа равна
убыли потенциальной энергии
.
Иначе можно сказать, что работа совершается за счёт запаса потенциальной энергии.
Величину
,
равную сумме кинетической и потенциальной
энергий частицы, называют полной
механической энергией тела:
–полная
механическая энергия тела
.
В заключении
заметим, что используя второй закон
Ньютона
,
дифференциал кинетической энергии
можно представить в виде:
.
Дифференциал
потенциальной энергии
,
как указывали выше, равен:
.
Таким образом,
если сила
– консервативная сила и отсутствуют
другие внешние силы, то
,
т.е. в этом случае полная механическая
энергия тела сохраняется.
«Физика - 10 класс»
Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы, позволяющий описывать большинство происходящих явлений.
Описание движения тел также возможно с помощью таких понятий динамики, как работа и энергия.
Вспомните, что такое работа и мощность в физике.
Совпадают ли эти понятия с бытовыми представлениями о них?
Все наши ежедневные действия сводятся к тому, что мы с помощью мышц либо приводим в движение окружающие тела и поддерживаем это движение, либо же останавливаем движущиеся тела.
Этими телами являются орудия труда (молоток, ручка, пила), в играх - мячи, шайбы, шахматные фигуры. На производстве и в сельском хозяйстве люди также приводят в движение орудия труда.
Применение машин во много раз увеличивает производительность труда благодаря использованию в них двигателей.
Назначение любого двигателя в том, чтобы приводить тела в движение и поддерживать это движение, несмотря на торможение как обычным трением, так и «рабочим» сопротивлением (резец должен не просто скользить по металлу, а, врезаясь в него, снимать стружку; плуг должен взрыхлять землю и т. д.). При этом на движущееся тело должна действовать со стороны двигателя сила.
Работа совершается в природе всегда, когда на какое-либо тело в направлении его движения или против него действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (других тел).
Сила тяготения совершает работу при падении капель дождя или камня с обрыва. Одновременно совершает работу и сила сопротивления, действующая на падающие капли или на камень со стороны воздуха. Совершает работу и сила упругости, когда распрямляется согнутое ветром дерево.
Определение работы.
Второй закон Ньютона в импульсной форме Δ = Δt позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если на него в течение времени Δt действует сила .
Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуются величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений тел. Эту величину в механике и называют работой силы .
Изменение скорости по модулю возможно лишь в том случае, когда проекция силы F r на направление перемещения тела отлична от нуля. Именно эта проекция определяет действие силы, изменяющей скорость тела по модулю. Она совершает работу. Поэтому работу можно рассматривать как произведение проекции силы F r на модуль перемещения |Δ| (рис. 5.1):
А = F r |Δ| . (5.1)
Если угол между силой и перемещением обозначить через α, то F r = Fcosα .
Следовательно, работа равна:
А = |Δ|cosα . (5.2)
Наше бытовое представление о работе отличается от определения работы в физике. Вы держите тяжёлый чемодан, и вам кажется, что вы совершаете работу. Однако с точки зрения изики ваша работа равна нулю.
Работа постоянной силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и косинуса угла между ними.
В общем случае при движении твёрдого тела перемещения его разных точек различны, но при определении работы силы мы под Δ понимаем перемещение её точки приложения. При поступательном движении твёрдого тела перемещение всех его точек совпадает с перемещением точки приложения силы.
Работа, в отличие от силы и перемещения, является не векторной, а скалярной величиной. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Знак работы определяется знаком косинуса угла между силой и перемещением. Если α < 90°, то А > 0, так как косинус острых углов положителен. При α > 90° работа отрицательна, так как косинус тупых углов отрицателен. При α = 90° (сила перпендикулярна перемещению) работа не совершается.
Если на тело действует несколько сил, то проекция равнодействующей силы на перемещение равна сумме проекций отдельных сил:
F r = F 1r + F 2r + ... .
Поэтому для работы равнодействующей силы получаем
А = F 1r |Δ| + F 2r |Δ| + ... = А 1 + А 2 + ... . (5.3)
Если на тело действует несколько сил, то полная работа (алгебраическая сумма работ всех сил) равна работе равнодействующей силы.
Совершённую силой работу можно представить графически. Поясним это, изобразив на рисунке зависимость проекции силы от координаты тела при его движении по прямой.
Пусть тело движется вдоль оси ОХ (рис. 5.2), тогда
Fcosα = F x , |Δ| = Δ х .
Для работы силы получаем
А = F|Δ|cosα = F x Δx .
Очевидно, что площадь прямоугольника, заштрихованного на рисунке (5.3, а), численно равна работе при перемещении тела из точки с координатой х1 в точку с координатой х2.
Формула (5.1) справедлива в том случае, когда проекция силы на перемещение постоянна. В случае криволинейной траектории, постоянной или переменной силы мы разделяем траекторию на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а проекцию силы на малом перемещении Δ - постоянной.
Тогда, вычисляя работу на каждом перемещении Δ
а затем суммируя эти работы, мы определяем работу силы на конечном перемещении (рис. 5.3, б).
Единица работы.
Единицу работы можно установить с помощью основной формулы (5.2). Если при перемещении тела на единицу длины на него действует сила, модуль которой равен единице, и направление силы совпадает с направлением перемещения её точки приложения (α = 0), то и работа будет равна единице. В Международной системе (СИ) единицей работы является джоуль (обозначается Дж):
1 Дж = 1 Н 1 м = 1 Н м .
Джоуль - это работа, совершаемая силой 1 Н на перемещении 1 если направления силы и перемещения совпадают.
Часто используют кратные единицы работы - килоджоуль и мега джоуль:
1 кДж = 1000 Дж
,
1 МДж = 1000000 Дж
.
Работа может быть совершена как за большой промежуток времени, так и за очень малый. На практике, однако, далеко не безразлично, быстро или медленно может быть совершена работа. Временем, в течение которого совершается работа, определяют производительность любого двигателя. Очень большую работу может совершить и крошечный электромоторчик, но для этого понадобится много времени. Потому наряду с работой вводят величину, характеризующую быстроту, с которой она производится, - мощность.
Мощность - это отношение работы А к интервалу времени Δt, за который эта работа совершена, т. е. мощность - это скорость совершения работы:
Подставляя в формулу (5.4) вместо работы А её выражение (5.2), получаем
Таким образом, если сила и скорость тела постоянны, то мощность равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус угла между направлениями этих векторов. Если же эти величины переменные, то по формуле (5.4) можно определить среднюю мощность подобно определению средней скорости движения тела.
Понятие мощности вводится для оценки работы за единицу времени, совершаемой каким-либо механизмом (насосом, подъёмным краном, мотором машины и т. д.). Поэтому в формулах (5.4) и (5.5) под всегда подразумевается сила тяги.
В СИ мощность выражается в ваттах (Вт) .
Мощность равна 1 Вт, если работа, равная 1 Дж, совершается за 1 с.
Наряду с ваттом используются более крупные (кратные) единицы мощности:
1 кВт (киловатт) = 1000 Вт
,
1 МВт (мегаватт) = 1 000 000 Вт
.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называетсязамкнутой .
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьегозаконов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: Применим к этим телам второй закон Ньютона:
где и – импульсы тел в начальный момент времени, и – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
|
|
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, то есть векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Механическая работа и мощность
Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.
Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения (рис. 1.1.9):
|
|
Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж).
Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.
Если проекция силы на направление перемещения не остается постоянной, работу следует вычислять для малых перемещений и суммировать результаты:
Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить упругая сила пружины, подчиняющаяся закону Гука . Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу модуль которой пропорционален удлинению пружины (рис. 1.1.11).
Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике прямой линией (рис. 1.1.12).
По площади треугольника на рис. 1.18.4 можно определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу пружины:
Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы равна по модулю работе внешней силы и противоположна ей по знаку.
Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами, и равна работе равнодействующей приложенных сил.
Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью . Мощность N – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа.
В нашем повседневном опыте слово «работа» встречается очень часто. Но следует различать работу физиологическую и работу с точки зрения науки физики. Когда вы приходите с уроков, вы говорите: «Ой, как я устал!». Это работа физиологическая. Или, к примеру, работа коллектива в народной сказке «Репка».
Рис 1. Работа в повседневном смысле слова
Мы же будем говорить здесь о работе с точки зрения физики.
Механическая работа совершается, если под действием силы происходит перемещение тела. Работа обозначается латинской буквой А. Более строго определение работы звучит так.
Работой силы называется физическая величина, равная произведению величины силы на расстояние, пройденное телом в направлении действия силы.
Рис 2. Работа - это физическая величина
Формула справедлива, когда на тело действует постоянная сила.
В международной системе единиц СИ работа измеряется в джоулях.
Это означает, что если под действием силы в 1 ньютон тело переместилось на 1 метр, то данной силой совершена работа 1 джоуль.
Единица работы названа в честь английского ученого Джеймса Прескотта Джоуля.
Рис 3. Джеймс Прескотт Джоуль (1818 - 1889)
Из формулы для вычисления работы следует, что возможны три случая, когда работа равна нулю.
Первый случай - когда на тело действует сила, но тело не перемещается. Например, на дом действует огромная сила тяжести. Но она не совершает работы, поскольку дом неподвижен.
Второй случай - когда тело перемещается по инерции, то есть на него не действуют никакие силы. Например, космический корабль движется в межгалактическом пространстве.
Третий случай - когда на тело действует сила, перпендикулярная направлению движения тела. В этом случае, хотя и тело перемещается, и сила на него действует, но нет перемещения тела в направлении действия силы .
Рис 4. Три случая, когда работа равна нулю
Следует также сказать, что работа силы может быть отрицательной. Так будет, если перемещение тела происходит против направления действия силы . Например, когда подъемный кран с помощью троса поднимает груз над землей, работа силы тяжести отрицательна (а работа силы упругости троса, направленная вверх, наоборот, положительна).
Предположим, при выполнении строительных работ котлован необходимо засыпать песком. Экскаватору для этого понадобится несколько минут, а рабочему с помощью лопаты пришлось бы трудиться несколько часов. Но и экскаватор, и рабочий при этом выполнили бы одну и ту же работу .
Рис 5. Одну и ту же работу можно выполнить за разное время
Чтобы охарактеризовать быстроту выполнения работы в физике используется величина, называемая мощностью.
Мощностью называется физическая величина, равная отношению работы ко времени ее выполнения.
Мощность обозначается латинской буквой N .
Единицей измерения мощности я системе СИ является ватт.
Один ватт - это мощность, при которой работа в один джоуль совершается за одну секунду.
Единица мощности названа в честь английского ученого, изобретателя паровой машины Джеймса Уатта.
Рис 6. Джеймс Уатт (1736 - 1819)
Объединим формулу для вычисления работы с формулой для вычисления мощности.
Вспомним теперь, что отношение пути, пройденного телом, S , ко времени движения t представляет собой скорость движения тела v .
Таким образом, мощность равна произведению численного значения силы на скорость движения тела в направлении действия силы .
Этой формулой удобно пользоваться при решении задач, в которых сила действует на тело, движущееся с известной скоростью.
Список литературы
- Лукашик В.И., Иванова Е.В. Сборник задач по физике для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2004.
- Перышкин А.В. Физика. 7 кл. - 14-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2010.
- Перышкин А.В. Сборник задач по физике, 7-9 кл.: 5-е изд., стереотип. - М: Издательство «Экзамен», 2010.
- Интернет-портал Physics.ru ().
- Интернет-портал Festival.1september.ru ().
- Интернет-портал Fizportal.ru ().
- Интернет-портал Elkin52.narod.ru ().
Домашнее задание
- В каких случаях работа равна нулю?
- Как находится работа на пути, пройденном в направлении действия силы? В противоположном направлении?
- Какую работу совершает сила трения, действующая на кирпич, при его перемещении на 0,4 м? Сила трения равна 5 Н.
Знают все. Даже дети работают, в детском садике - малышами. Однако общепринятое, бытовое представление далеко не то же самое, что понятие механическая работа в физике. Вот, например, человек стоит и держит в руках сумку. В обычном понимании он выполняет работу, удерживая груз. Однако с точки зрения физики ничего подобного он не совершает. В чем тут дело?
Раз появляются такие вопросы, самое время вспомнить определение. Когда на предмет действует сила, и под ее действием тело перемещается, то выполняется механическая работа. Эта величина пропорциональна пройденному телом пути и приложенной силе. Существует еще дополнительная зависимость от направления приложения силы и направления движения тела.
Таким образом, мы ввели такое понятие как механическая работа. Физика определяет ее как произведение величины силы и перемещения, умноженное на значение косинуса угла, имеющегося в самом общем случае между ними. В качестве примера можно рассмотреть несколько случаев, которые позволят лучше узнать, что под этим понимается.
Когда механическая работа не совершается? Стоит грузовик, мы его толкаем, а он не движется. Сила приложена, а перемещения нет. Совершаемая работа равно нулю. А вот другой пример - мама везет ребенка в коляске, в этом случае работа совершается, приложена сила, коляска перемещается. Разница в двух описанных случаях в наличии перемещения. И соответственно, работа выполняется (пример с коляской) или не выполняется (пример с грузовиком).
Другой случай - мальчик на велосипеде разогнался и спокойно катится по дорожке, педали не крутит. Работа выполняется? Нет, хотя перемещение есть, но нет приложенной силы, движение осуществляется по инерции.
Еще один пример - лошадь везет телегу, на ней сидит возница. Совершает ли он работу? Перемещение есть, приложенная сила есть (вес возницы воздействует на телегу), а вот работа не выполняется. Угол между направлением перемещения и направлением действия силы составляет 90 градусов, а косинус угла 90° равен нулю.
Приведенные примеры позволяют понять, что механическая работа - это не просто произведение двух величин. Оно должно также учитывать, как эти величины направлены. Если направление перемещения и направление действия силы совпадают, то результат будет положительным, если направление перемещения происходит против направления приложения силы, то результат будет отрицательным (например, работа, совершаемая силой трения при перемещении груза).
Кроме того, необходимо учесть, что действующая на тело сила может быть результирующей нескольких сил. Если это так, то работа всех приложенных к телу сил равна работе, совершаемой результирующей силой. Работа измеряется в джоулях. Один джоуль равен работе, которую совершает сила в один ньютон при передвижении тела на один метр.
Из рассмотренных примеров можно сделать крайне любопытный вывод. Когда мы рассматривали возницу на телеге, то определили, что он не совершает работу. Работа совершается в горизонтальной плоскости, потому что именно там производится перемещение. Но ситуация немного изменится, когда мы будем рассматривать пешехода.
При ходьбе центр тяжести человека не остается неподвижным, он движется в вертикальной плоскости и, значит, совершает работу. А так как движение направлено против то работа будет происходить против направления действия Пусть перемещение и небольшое, но при длительной ходьбе организму придется совершать дополнительную работу. Так что правильная походка сокращает эту лишнюю работу и уменьшает утомляемость.
Проанализировав нескольких простых жизненных ситуаций, выбранных в качестве примеров, и воспользовавшись знанием о том, что такое механическая работа, мы рассмотрели основные ситуации ее проявления, а также когда и какая работа выполняется. Определили, что такое понятие как работа в быту и в физике носит разный характер. И установили с помощью применения физических законов, что неправильная походка вызывает дополнительную утомляемость.
